z가 다항방정식의 근이면 z의 켤레복소수도 근일까
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정답은 부분적으로 yes.
다항방정식의 모든 계수가 실수인 경우에 한해 항상 성립함
어떤 z가 다항방정식 p(x)=0의 근이라는건 다음이 성립한다는 뜻인데,
켤레복소수(complex conjugate)의 성질
에 의해
이 되기 때문
따라서 어떤 실계수 다항방정식의 실수가 아닌 복소수 근은 항상 짝수 개만 존재할 수 있음
또 이를 통해 홀수 차수 실계수 다항방정식이 항상 적어도 하나의 실근을 가진다는 걸 보일 수 있음
대수학의 기본 정리에 의해 홀수개의 복소수 근을 갖는 실수가
아닌 복소수 근의 개수는 항상 짝수개이고 그렇다면 모든 근이 실수가 아닌 복소수인 경우는 불가능하기 때문에 항상 실근이 존재해야함
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복소수 너무 신기함
대충 그래프그려서 실근이 중근없단 가정하에 홀수개인건 알았는데 이렇게 증명이 되는거였군요