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11수능 수리가형 문제로 본 교육과정, 수능, 논술(특히 서울대 논술?)의 관계와 교육의 다양성
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우선, 이 글을 쓰게 해 준 계기를 마련해 준 호랑. 님에게 감사드립니다. 이 글은 호랑. 님의 글 http://orbi.kr/0002564723 에 댓글을 달다가, 자세히 쓰다 보니 여러 가지 이야기를 함께 하게 되어서 독립적인 글로 써 본 것입니다. 그렇기에 '일단은' 호랑.님의 글에 대한 기-인 댓글과 같은 스타일을 지닙니다. 호랑.님의 원 글이 독동반상회 태그에도 있기 때문에 일단 독반 태그를 달아 두긴 했는데 계속 달아 둘지 모르겠네요. 아, 이것이 나카렌입니다. 제가 입시와 관련해서 생각하는 바가 많이 담겨 있어요. 수능, 논술, 교육과정 등등. 그럼 긴 글 시작합니다. 질문, 지적 등등 얼마든지 받습니다. 이 글 하나로, 여러 가지 좋은 변화가 많이 일어났으면 좋겠습니다. ------------------ 점점 희미해지는 기억을 거슬러 올라가 보면, 저도 ㄷ을 호랑.님과 같은 방법으로 풀었고, 다시 1년 전으로 되돌려 놓아도 같은 방법으로 풀 것 같습니다. 제가 글을 읽고 느낀 게 "그렇지. 원래 이렇게 푸는 거 아니었어?"라는 감정이었으니까요. 그리고 몇몇 분들이 이 풀이가 엄밀하지 않다고 생각할 수 있으니까, 이를 엄밀하게 적어 보면 이렇게 됩니다. 문제를 살펴보면, 적절한 실수 a, b를 선택하여(단, a<1<b) 폐구간 [a, 1]에서 f(x)는 0에서 x까지 v(t)를 적분한 것이고, 적절한 폐구간 [1, b]에서 f(x)는 x+2부터 5까지 v(t)를 적분한 것입니다. 따라서 "미적분학의 기본 정리에 의하여" f(x)의 x=1에서 좌미분계수는 v(1), x=1에서 우미분계수는 v(3)인데 두 값이 같지 않으므로, ㄷ은 거짓이 됩니다. 그런데 이렇게 적어 놓고 보면, 재미있는 것을 발견할 수 있습니다. 평균변화율을 직접 구하고, 좌극한과 우극한을 직접 계산하여 푸는 풀이를 살펴보면, 위에서 "미적분학의 기본 정리에 의하여" 라는 부분이 구체적인 계산 과정으로 바뀌는데, 이를 자세히 살펴보면, "미적분학의 기본 정리"의 증명 과정을 특수한 경우에서 진행한 것이라는 겁니다. 마지막 문장을 조금 더 설명하도록 할까요. 일반적으로, 제2코사인법칙의 증명에는 여러 가지가 있습니다.(너무 당연한 문장인가요?) 그 중, 고등학교 과정에서 의미가 있는 것은 제1코사인법칙을 이용하는 것, 수선을 그은 뒤 삼각함수의 정의와 피타고라스의 정리를 이용하는 것, 벡터의 내적에서 유도하는 것입니다.(다만, 벡터의 내적에서 제2코사인법칙을 유도하게 되면 "개념의 논리적인 흐름"을 교과서와 다른 새로운 방식으로 재구성해 주어야 합니다. 고등 학교 과정에서 이를 직접 해 볼 필요는 없고, 가능하다는 정도만 알면 됩니다.) 그리고 교과서에서는 대체로 삼각함수의 정의와 피타고라스의 정리를 이용하는 유도 과정이 나오지요.(저는 이것을 추천하며, 제1코사인법칙을 이용하는 증명은 그다지 추천하지 않습니다. 왜냐 하면, 삼각함수의 정의와 피타고라스의 정리를 이용하는 증명은 떠올리기도 쉽고, 유도 과정도 이해하기 더 쉽기 때문입니다. 다만 시중의 개념서에서는 크게 중시되지 않는 듯 합니다. 아마 교과서 내용이 바뀐 것으로 추정됩니다) 그런데, 여기서 재미있는 발상을 할 수 있습니다. 두 변의 길이와 끼인각의 크기가 주어져 있고 나머지 변의 길이를 구해야 할 때, 주어진 각이 운 좋게도 특수각(고등학교 과정에서는 대개 그렇긴 합니다)이라면, 제2코사인법칙을 이용하는 게 아니라 "직접" 수선을 긋고, 문제 상황을 여러 개의 직각삼각형들로 재해석한 뒤 삼각함수의 정의와 피타고라스의 정리를 이용하여 변의 길이를 하나씩 구해 나가는 식으로 구할 수도 있다는 겁니다. "XXX"의 증명 과정을 특수한 경우에서 진행한다라는 말은 이런 의미입니다. 즉, 호랑.님의 풀이는 다른 사람들의 풀이의 일부 과정이 "미적분학의 기본 정리"의 내용임을 이해했기 때문에,(이는 "미적분학의 기본 정리"를 철저하게 이해했다는 것을 내포하지요.) 그 과정을 "미적분학의 기본 정리"를 이용한다는 말로써 빠르게 진행한 것일 뿐, 큰 차이가 있는 것이 아니라는 겁니다. 또한 "미적분학의 기본 정리"는 고등학교 미적분 과정에서는 정말 중요한 정리이지요. 다들 중요하다는 것을 모르고 있을 뿐. 한편, 중간적인 성격을 지니는 풀이로 처음에는 제가 제시한 대로 풀어나가다가, f(x)의 식을 x=1 근방에서 구한 다음 적분으로 주어진 함수의 변화율에 대한 몇몇 공식들을 이용하는 풀이도 있습니다. 하지만 그러한 공식 또한 "미적분학의 기본 정리"로 바로 이끌어 낼 수 있는 간단한 결론들일 뿐입니다. 그렇기 때문에, 일반적으로 생각한다고 여겨지는 풀이, 바로 위에서 제시한 중간적인 성격의 풀이, 호랑.님의 풀이와 제가 그것을 좀 더 엄밀하게 표현한 풀이는 결국 같은 말을 다른 방법으로 쓴 것일 뿐입니다. 어느 풀이가 출제의도에 부합하는가를 따지기 전에, 이 점을 먼저 확인하고 들어가야 한다고 봅니다. 이제 출제의도에 대하여 살펴볼까요. 우선 "미적분학의 기본 정리"를 철저하게 이해했다면 호랑.님과 같은 풀이를(또는 제가 엄밀하게 재진술한 풀이를) 시험장에서 구사할 수 있을 개연성이 높을 겁니다. "철저하게 이해했기" 때문에, f(x)가 무엇인지 확인하고, '이제 적분으로 주어진 함수의 좌미분계수와 우미분게수를 구해야 하는구나'라는 과정에서 '자연스럽게' 떠오를 수 있습니다. '적분으로 주어진 함수의 미분계수를 어떻게 구하는가?' 라는 물음에 대한 답이 "미적분학의 기본 정리"이기 때문이지요. 그런 의미에서 이러한 풀이는 일단은 "교육 과정을 정상적으로 이수한 사람이 충분히 생각해 낼 수 있는 풀이"라고 할 수 있습니다. 오해를 막기 위해 덧붙이면, 바로 앞 문장에서 따옴표로 되어 있는 문장의 맥락은 "교육 과정을 충분히 이수하면 논술 문제를 풀 수 있다"의 맥락과 조금 닮은 점이 있습니다. 교육 과정을 정상적으로, 이상적으로 이수한 경우를 생각하고 있다는 맥락에서 그렇습니다. 한편 위와 같이 이상적인 경우가 아니라, 댓글 중간에서 제시한 중간적인 방법으로 풀거나, 아니면 그냥 계산하는 방법도 교육 과정의 내용을 활용하여 주어진 문제 상황을 나름대로 잘 해결한 것입니다. 적분으로 주어진 함수의 변화율도, 평균변화율의 의미도, 극한의 계산도, 도형에서의 극한을 적절한 식의 극한으로 재진술하는 것도 교육 과정 내의 내용이고, 이들을 잘 결합하여 문제를 해결한 것이 위의 두 풀이니까요. 그런 의미에서 이 풀이들도 "교육 과정을 정상적으로 이수한 사람이 충분히 생각해 낼 수 있는 풀이"입니다. 그러면 이제 어느 것이 의도냐는 질문이 남지요. 저는 이에서, 제 가설을 제안합니다. "평가원은 하나의 풀이만을 기대하지 않는다" 라는 겁니다. 다시 말하면, 위의 세 가지 풀이 모두 "교육 과정을 정상적으로 이수한 사람이 충분히 생각해 낼 수 있는 풀이"인 만큼, 이 중 어느 것을 이용하여 진행하든 모두 평가원에서 기대하는 풀이라는 것입니다. "그냥 계산해도 좋고, 미적분학의 기본 정리를 잘 이용해서 풀어도 좋고. 다만 미적분학의 기본 정리를 잘 이용해서 푸는 풀이가 시간을 좀 더 벌어줄 수는 있지."라는 게 평가원의 생각이 아닐까 하는 거죠. 이 말은 호랑.님과 같은 풀이가 다른 풀이보다 우월하다고 본다는 의미가 "아닙니다." 단지, 그렇게 할 수 있으면 그렇게 하고, 그렇게 할 수 없으면 없는 대로 풀라는 의미입니다. 각자에게 맞는 풀이가 있다는 것이고, 각각의 풀이에서 걸리는 시간을 통해서도 각자의 "수학 능력"이 측정될 수 있다는 입장이면서, 수학능력시험에서 모든 사람이 만점을 받아야 하는 것이 아니라, 각자의 "수학 능력"에 맞는 점수를 받아야 한다는 입장이기도 합니다.(그렇기 때문에 인문계열 학생도 언어영역에서 과학, 기술 지문을 읽고, 자연계열 학생도 언어, 사회 지문을 읽어야 하죠. 이는 인문계열 학생이 자연계열 학생과 같은 수준으로 과학, 기술 지문을 이해하기를 요구한다는 의미가 "아니라", 그냥 인문계열 학생이 어느 정도로 과학, 기술 지문을 다룰 수 있는지 알아보겠다는 의미입니다.) 이러한 입장의 장점은, 널리 알려져 있고, 널리 이해되는 풀이와, 분명 개념적으로 본질적이지만 모두가 이해할 수 없는 풀이를 평가원 문제의 풀이로 양립시킬 수 있다는 점입니다.(다시 한번 말하지만, 두 풀이에 우열은 없습니다. 각자에게 맞는 풀이가 있을 뿐입니다. 또한 제가 알기로 남휘종이 전형적인 후자이지요) 그리고 수험생의 능력이 어느 정도인지 알아본다는 대학수학능력시험의 취지를 잘 살린다는 점, 7차 교육 과정이 학생의 개별적인 특성에 따른 다양화된 교육을 지향한다는 점과 잘 부합한다는 점 또한 장점이지요. 그러나 제가 보기에는 아직 "각자에게 맞는 교육, 각자에게 맞는 풀이, 각자에게 맞는 점수"라는 개념이 아직 자리를 잡지 못한 것 같습니다. 충분히 출중한 학생들이라면 널리 알려져 있고, 널리 이해되는 풀이보다는 조금 더 이해하기 어려울 수는 있어도 본질적인 풀이를 시도해 보는 게 좋을 거라는 게 제 입장이지요. 또한, 다시 위로 올라가서 "교육 과정을 정상적으로 이수한 사람이 충분히 생각해 낼 수 있는 풀이"라는 표현에 대해 이야기하고자 합니다. 이 때 저는 이 표현에는 상당히 이상적인 맥락이 깔려 있다고 말했지요. 그리고 이는 논술에서 흔히들 말하는 "교육 과정을 충분히 이수하면 풀 수 있다"라는 말과도 통한다고 했고요.(요즘 서울대 논술과 관련해서 그 이야기가 나오더군요) 이에 대해서, 이렇게 말할 수 있습니다. 대학수학능력시험은 보편적인 고등학생을 대상으로 각자의 수학 능력을 알아보고자 하기 때문에, 위에서 말한 바대로 각자의 수준에 맞는 풀이가 양립할 수 있지만, 논술 시험은 성격이 다르다는 겁니다. 논술 시험은 상위권 또는 최상위권 학생들의 실력을 변별하고자 하는 시험입니다. 그렇기 때문에, 평가원이 의도할 만한 여러 가지 풀이들 모두를 논술 출제자가 의도할 리 없고, 당연히 좀 더 높은 지적 수준에 걸맞는 글, 걸맞는 풀이를 기대한다는 것이지요.(서울대 논술이라면 더욱 그런 성격을 띨 겁니다.) 그렇지만 아직 고등 학교 교육은 모두에게 두루 통할 수 있는 것에만 초점이 맞추어져 있지, 각자에게 맞는 교육과 풀이라는 것에는 그다지 관심이 주어지지 않았습니다. 그렇기에 수험생들도 자신의 지적 수준에 걸맞는 글과 풀이를 함양할 기회가 많이 주어지지 않았습니다. 그래서 수능에서는 잘 해 나간 분들이 논술에서 혼란을 느끼는 것이고요. 이는, 논술을 잘 치려면 평소의 공부하는 것에서부터 조금씩 달라야 한다는 의미입니다. 그러니, 논술 시험에 임박하여 이루어지는 각종 논술 사교육이 확연하게 드러나는 향상을 이루어낼 가능성이 적은 것이지요. 난만한님이 수리논술을 공부하려는 자연계열 학생에게 우선 수리영역 가형을 철저하게 공부하고, 이를 바탕으로 논술로 나아가라는 말도 결국 같은 맥락입니다. 수리영역을 공부하면서 다른 사람들보다 보다 논리적이고 엄밀하게 공부하고, 그런 풀이를 구사할 수 있는 능력을 갖춘 다음,(이 문장이 수리영역을 공부하는 모든 사람이 그렇게 하라는 의미가 아니라는 것은 이제 덧붙이지 않아도...괜찮겠죠?) 논술이 다가올 때 갈무리하라는 의미이지요. 서울대학교 논술이 언급된 김에 덧붙이자면, 서울대학교에서 서울대학교 입학사정관제를 안내하는 파일에 따르면, 그들이 입학사정관제에서 알아보고자 하는 바를 요약하자면 "이 학생이 이 학생의 지적 수준에 맞게 공부해 왔는가", 즉 "이 학생은 모두에게 두루 통할 수 있는 공부와 풀이가 아니라, 자신의 수준에 걸맞는 공부와 풀이의 길을 얼마나 걸어 왔는가"라고 할 수 있습니다. http://admission.snu.ac.kr/adm01/adm0101/view.jsp?idx=1260832&pageno=2 에 올라온 "입학사정관제 안내"라는 파일에 따르면 "내가 좋아하는 분야에서만은 나도 전문가! 폭넓은 공부에도 소홀히 하지 않으면서, 내가 장차 목표로 하는 분야는 좀 더 철저히 준비합시다. 우리 학교 최고로 어깨를 으쓱할 수 있을 만큼 전문가가 되어 봅시다. 예비 서울대학생이라면 교과서만으로는 뭔가 부족하다고 생각할 수도 있습니다. 교과서 내용을 완전히 내 것으로 만들었다면 이제야말로 스스로 찾아서 공부할 때입니다. 관련 서적을 찾아서 ‘많이 읽고’ 보다 ‘깊이 이해’하려고 노력하다보면, 다른 사람들에게 나의 언어로 알려줄 수 있을 만큼 나도 모르게 전문가가 되어 있지 않을까요?"(23쪽) "깊이 있는 학습을 위해서는 다양한 학습활동이 필요합니다. 책과 씨름하며 혼자 생각하는 공부도 매우 중요하지만, 동시에 그룹 과제활동 등 다양한 형태의 학습 경험도 지식의 살을 찌우는 활동입니다. 위와 같이 학교에는 실험 탐구 활동, 그룹 수행 과제, 토론, 글쓰기, 심화학습 동아리 등 다양한 학업 활동을 경험할 수 있는 기회가 있습니다. 학생이 적극적으로 찾아서 다양한 활동을 만들어갈 수 있습니다. 학업 활동은 정해져 있는 틀이 없습니다. 어떤 형태, 어떤 종류의 활동이라도 스스로에게 도움이 될 수 있다면 의미가 있습니다. 학교 수업 따로, 학업 활동 따로 생각할 필요가 없습니다. 정규 수업 안에서 선생님과 함께하는 다양하고 입체적인 활동이 모두 의미 있는 배움이며, 서울대학교는 이러한 경험을 소중하게 생각합니다."(24쪽) "‘대학교 입시 맞춤 공부를 넘어서 스스로 실력을 다지기 위한 노력이 무슨 소용이 있을까?’라고 생각할 수도 있습니다. 그러나 단순한 반복학습으로 수능, 내신 점수를 높이는 것이 고등학교 시절에 우선이 되어야 할까요? 대답은 “NO!”입니다. 스스로 생각하고, 알고자 하고, 찾아서 깊이 공부하는 노력이야말로 서울대학교에서 성공적인 대학생활을 하기 위한 필수 훈련 과정입니다. 서울대학교 입학사정관은 이런 주도적인 심화 학습을 위한 노력을 매우 중요하고 가치 있게 생각합니다."(26쪽) 등과 같이 말하고 있습니다. 물론, 이는 입학사정관제의 도입된 취지와 목적이 그렇다는 것이지, 실제로 얼마나 잘 이루어지고 있느냐에 대한 진술이 아니라는 것도 밝혀 둡니다.(제 생각에는 아직 이러한 기준으로 합불이 잘 결정될 만큼 고등학교 교육이 다원화되어 있지 않습니다. 또한 이런 요소를 얼마나 입학사정관들이 잘 판단할 수 있는지, 주관성은 없는지 등에서 논란이 있을 수 있고요.) 회고하자면, 제 고등 학교 생활은 결국 "왜 내가 모든 사람들이 공부하는 방법으로, 모든 사람들이 공부하는 것을 공부해야 하는가. 나 자신에게 맞는 공부란 무엇일까"에 대한 몸부림이었다고도 할 수 있고, 그러한 점을 자기소개서 등의 서류에서 표현하고자 노력하였으며, 그러한 점이 어느 정도 인정받지 않았나 하고 추측합니다.(물론, 추측입니다. 확신할 수 없는 문제이니까요.) 서울대학교 논술이든 입학사정관제는 결국 서울대학교 입시라는 큰 테두리에 묶일 수 있는 만큼, 서울대학교 논술도 위와 같은 맥락을 일정 부분 공유하고 있다고 보는 게 제 시각입니다. 마지막으로, 저는 위에서 이야기한 바를 토대로, 교육의 다양성, 다양화된 교육을 주장합니다. 성지출판의 자연계열 수학 교과서에 대하여 평가원이 지적한 사항에 대한 성지출판 저자측의 답변을 살펴보면, 이런 이야기가 있습니다. 함수의 극한을 수열의 극한을 이용하여 엄밀하게 전개하는 것이 확실히 어느 정도 이상의 수준을 요구하는 서술 방식이기는 하지만, 검정 교과서라는 체제는 결국 교과서의 다양성을 살리겠다는 목적을 가진다고 할 수 있고, 그렇기 때문에 교과서의 다양성을 고려해서 함수의 극한을 수열의 극한을 이용하여 엄밀하게 전개하는 방법을 교과서에 싣는다는 겁니다. 제가 수학을 제대로 공부하고자 하는 분들에게 대체로 성지출판의 교과서를 추천하는 것도, 이러한 점을 알기 때문입니다. 과거에는 성지출판의 개념 설명이 가장 자세하고, 깊이 있으며, 보다 엄밀하다는 이유로 일반적인 수험생을 고려하여 추천했었지만, 지금은 입장이 달라졌습니다. 수학을 한번 제대로 공부해 보겠다는 분들이나, 상위권 분들에게 이 교과서의 장점이 의미 있게 다가올 수 있기 때문에(즉, 하위권 분들에게는 오히려 이런 교과서는 맞지 않을 거라는 의미입니다) 그런 분들에게 성지출판의 교과서를 추천한다는 것입니다. 또한, 제가 쓰는 글들을 살펴봐도, 고등 학교 과정과 대학교 과정 사이의 징검다리를 놓아 주는 글이나, 수학을 철저하게 공부한다는 것에 대한 글들이 많습니다. 그런 이유도, 대한민국의 모든 수험생, 좁혀서 모든 고등학교 자연계열 학생이 같은 방법으로, 같은 것을 공부할 필요도 없고, 그래서도 안 된다는 생각이 있기 때문입니다. 하지만 이런 것을 주장하는 사람들은 적고, "각자에게 맞는 교육, 각자에게 맞는 풀이" 라는 것도 널리 퍼져 있지 않기 때문에, 제가 특별히 이 측면에서 이야기를 많이 하는 것입니다. 제가 2011년 겨울에 고등 학교 생활을 끝내면서, 후배들에게 한 이야기인 "시험을 위한 공부만 하지만 말고, 공부를 위한 공부도 한번 해 보라" 라던지, 종종 하곤 하는 "이 내용을 읽는 분들 모두가 반드시 이해해야 하는 것은 아니다. 맞지 않으면 과감하게 버려도 된다"라는 말도 그러한 맥락에 있습니다. 그렇기에 다시 한번 이야기하고자 합니다. 저는 "각자에게 맞는 교육, 각자에게 맞는 풀이, 각자에게 맞는 점수"를 늘 이야기하고자 합니다.
에피옵티무스 6기 나카렌입니다. 자격을 만족하는 분들이 많이 참여해 주시면 좋겠습니다.
아울러 포만한 카페에서 수학홀릭으로 활동하고 있습니다. "각자에게 맞는 교육, 각자에게 맞는 공부, 각자에게 맞는 풀이, 각자에게 맞는 점수" 언제나 한결같이, 꾸준하게. 아는 것을 안다고 하고, 모르는 것을 모른다고 하는 것이 진정으로 아는 것이다. -논어, 위정편-   나카렌
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그렇습니다. 그리고 집필진 분들이 서울대학교 출신이면서 서울대학교 현직 교수님 두 분도 참여되어 있고요. (그런 의미에서 맥락이 통한다고 할 수 있을지도 모르겠습니다) 그 중 김홍종 교수님은 서울대학교 자연계열 1학년 대부분이 쓰는 미적분학 책을 쓴 저자이기도 하고, 한석원의 강의에서도 언급된다고도 들은 것 같습니다.
01/09 19:39 IMIN: 278738 IP: 118.♡.233.22 
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문명, 수학의 필하모니 저자!
m.book.nate.com/detail.html?sbid=3319165&sBinfo=info 재미있는 책을 쓰신분인데 교과서 참여를 했군요
01/09 19:41 IMIN: 311238 IP: 203.♡.205.112  나카렌
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네, 저도 살펴본 적은 있지만 읽어 본 적은 아직 없네요.
성지출판 교과서는 미적분과 통계 기본 교과서에서도 함수의 극한을 수열의 극한으로 엄밀하게 설명하는 서술을 넣어서 교과서 검정을 받고자 했는데, 평가원에서 이에 대하여 "이러이러한 부분을 수정하면 좋겠습니다."가 아니라 "이 교과서는 인정할 수 없습니다"라고 했었던 적도 있죠. 생각해 보면 미통기 교과서로는 조금 지나치긴 합니다. 그 외에도 몇 가지 문제라던지 그런 게 조금 높은 수준의 학생을 의식하고 만들어진 느낌이 드는 교과서입니다.
01/09 19:47 IMIN: 278738 IP: 118.♡.233.22 
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교육과정 총론같은것에는 처음배우는 학생에게 엄밀한 정의를 피해서 직관적으로 이해할수있게가르치라고 했는데 성지출판사는 그것을넘어섯나보네요.
기존에 물리2-단원자분자 사태처럼 특정교과서에 교육과정을넘어서는 과도한 서술을하면 문제가 발생할수있는 소지가 있기때문에 평가원에서 인정을 안하려고 한것이 아닌가 싶네요. 그것말고도 교과서실구매자는 학생이 아니라 학교를 대상으로 판매하는것이기 때문에인것도 이유가 될것 같네요
01/09 20:23 IMIN: 311238 IP: 203.♡.205.112 나카렌
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그런데 성지출판에서 제시하는 바로는 "수열의 극한을 직관적으로 이해하고, 이를 바탕으로 함수의 극한을 이해한 거니 된 거 아니냐" 라던지 " '수열의 극한과 함수의 극한을 연관시켜서 이해하도록 지도한다'라는 말이 교육과정에 있지 않느냐" 라는 식으로 이야기를 하더군요.
저는 문과에서는 지나치지만 이과에서는 한번 시도해도 괜찮겠다는 식. 또는 이차곡선에서 접선을 구할 떄 D=0 으로 푸는 것도 보여주긴 하지만, 그보다 미분이 편하다면서 미분을 많이 쓴다던지... 그 외에도 정적분의 정의를 살짝 일반화시켜버린다던가, 극대, 극소의 정의라던가... 등에서 조금 다르죠. 포만한 카페에 제가 쓴 글이 있을 겁니다.
01/09 20:26 IMIN: 278738 IP: 118.♡.233.22 나카렌
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제가 따로 사비로 구입한 교과서이기도 하고,(저는 개정되기 전의 7차 교육 과정이니까요) 제가 주로 인용하는 교과서이기도 합니다.
01/09 19:51 IMIN: 278738 IP: 118.♡.233.22 
도지삽니다
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지금보니 공저로 계승혁 교수님도 계시네요 ㄷㄷㄷ
김홍종-계승혁 교수님 공저로 인문사회계를 위한 수학 배워본적이 있었는데.. 좋은책 소개해주셔서 감사합니다.
01/09 19:56 IMIN: 348401 IP: 119.♡.173.49  만족
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미적분의 기본정리의 증명도
여러가지가 있나요? 제가 성지출판 교과서 증명을 익히고 있는데 이것도 여러가지 증명이 있는지 궁금합니다
01/09 21:27 IMIN: 374458 IP: 125.♡.111.212 나카렌
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일단은, 미적분학의 기본 정리에 대하여 이러한 글을 쓴 적이 있는데, 참고용으로 링크 걸어둡니다. 현재 이런저런 찾아보고 있어요.
http://orbi.kr/0001747303
01/09 21:50 IMIN: 278738 IP: 118.♡.233.22 나카렌
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하지만 핵심적인 부분은 교과서와 같을 겁니다. 제가 가지고 있는 교과서나 참고서 등을 살펴 보았는데, 크게 다른 방식으로 증명하는 것은 찾기 힘드네요. 하나 있다면 적분의 평균값의 정리라는 것을 정적분의 성질만으로 증명하고, 이를 이용하여 미적분학의 기본정리를 증명하는 것이 있긴 합니다.
아마, 도형의 경우 여러 가지 방법으로 "재해석"할 수 있기 때문에 여러 가지 증명이 나올 수 있던 것이 아닐까 합니다. 또는 미적분학의 기본 정리를 직관적으로 이해하려면, a에서 b까지 f ' (x)의 적분이라는 것은, f ' (x_i) * ( x_(i+1) - x_i )의 무한한 합인데, 이건 다시 f ( x_(i+1) ) - f ( x_i )의 무한한 합이므로, 결국 f(b) - f(a)라고 할 수도 있습니다. 증명 과정에 대한 이해와 직관적 이해가 모두 되면 좋겠지요. [여기서부터는 반드시 읽지 않아도 됩니다. 보통 극한을 이용할 때는 무한히 작거나 무한히 크다는 것은 대상의 성질이라기보다는 상태, 과정으로 파악하는데, 이렇게 하면 살짝 무한히 작은 무언가, 무한히 큰 무언가가 있다는 느낌을 주기도 합니다.(물론 뉴턴 시절에는 이렇게들 했었습니다) 그렇기에 아예 무한히 작은 무언가, 무한히 큰 무언가를 도입하여 미적분을 설명하는 방법이 있고, 그 방법에서는 아마 다르게 할 것 같은데 제가 잘 알고 있지는 못합니다.]
01/09 22:14 IMIN: 278738 IP: 118.♡.233.22 만족
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[미적분학의 기본 정리를 직관적으로 이해하려면, a에서 b까지 f ' (x)의 적분이라는 것은, f ' (x_i) * ( x_(i+1) - x_i )의 무한한 합인데, 이건 다시 f ( x_(i+1) ) - f ( x_i )의 무한한 합]
이부분을 f'(x)가 기울기라는 점에서 [f ( x_(i+1) ) - f ( x_i )]/ ( x_(i+1) - x_i )= f ' (x_i) 에서 양변에 ( x_(i+1) - x_i )를 곱해줘서 나왔다고 이해하면 되나요?? 신기하네요 ㅋㅋ
01/09 22:28 IMIN: 374458 IP: 125.♡.111.212 나카렌
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그렇게 이해하면 됩니다. 이는 김홍종 교수님의 미적분학 책의 수학사전에 있던 내용이에요. 물론 어떤 고등학교 선배가 제게 이야기해 준 것이기도 하고요.
01/10 00:01 IMIN: 278738 IP: 118.♡.233.22  레바
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역시 나카렌님 대단하시군요. 저는 단지 논술이 귀찮고 멘붕시킨다는 이유만으로 팽개치고 있었는데..
01/09 21:35 IMIN: 383645 IP: 59.♡.195.185
호랑.
0
오히려 저의 작은 글이 좋은 글을 이끌어내는 계기가 되었네요. 나카렌님께 감사드립니다.
"각자에게 맞는 교육, 각자에게 맞는 풀이, 각자에게 맞는 점수" 부분이 새롭네요. 우리나라는 아직 사회 전반에 걸쳐 어린 시절부터 '획일화'를 강요받아오는데.. 유독 '공부'에서는 그 현상이 심한 것 같습니다. 어떤 선생님이 좋냐, 어떤 커리가 좋냐, 커리 평가좀 해달라, 어떤 과가 좋냐....... 저도 '어떤 풀이가 맞느냐?'라고 질문하는 입장이었으니 다를바 없었던것 같습니다. 나카렌님의 좋은 글 감사드립니다.
01/09 23:01 IMIN: 146108 IP: 14.♡.65.220 나카렌
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저 또한 좋은 계기를 만들어 주어서 감사드립니다. 앞으로도 호랑.님의 좋은 글 기대할게요.
'다양성'이라는 단어는 제 생각의 그물에서 중요한 단어이기도 하고, 제 입장의 중추이기도 하니까요.
01/10 00:02 IMIN: 278738 IP: 118.♡.233.22 나카렌
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http://www.ktbook.com/Shop/Online/BuyNotice.asp 또는 오프라인 매장에서 구입 가능합니다.
01/12 16:40 IMIN: 278738 IP: 118.♡.233.22 
줄리엣94
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나카렌님 넘우넘우 감사합니다!!!!
근데 님 말씀대로 성지출판사 것만 사려고 하는데 수2 기벡 적통 밖에는 없어요! 수1은 성지출판께 없네요! 익힘책까지 모두 다 사는게 좋은가요??? 본책과 익힘책의 차이는 무엇인가요?
01/13 13:04 IMIN: 386569 IP: 121.♡.51.222 나카렌
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사실 이 이야기가 나오지 않을까 하는 생각이 글을 올릴 때부터 있었습니다.
말도 안 된다고 하는 이유를 조금 더 적어보실 수 있나요?
01/12 23:54 IMIN: 278738 IP: 118.♡.233.22
줄리엣94
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나카렌님 말씀 듣고 저 이제 교과서로만 공부하려구요 ^^
근데 수학말고도 과탐도 교과서로 공부하는게 좋은거죠? 물리2도 교과서로 사려구요! 근데 다 검정교과서인가봐요? 아..국정은 국어 국사 도덕밖에는 없는거죠? ㅋㅋㅋ 나카렌님 도와주시어요! 이제 님만 믿고 따라갈껍니닷!
01/13 13:06 IMIN: 386569 IP: 121.♡.51.222 |
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오르비게시판및회원관리법 (Horus Code)2011년 7월 11일 11시 40분 제정</
<span style='color: black; font-family: "맑은 고딕"; font-size: 18pt; font-weight: bold; language: en-US; mso-ascii-font-family: "맑은 고딕"; mso-fareast-font-family: "맑은 고딕"; mso-bidi-font-family: +mn-cs; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;
마켓에 한권으로 완성하는 수학 (#한완수) 기하와 벡터 편이 입고되었습니다. 한권으로 완성하는 수학은 수능 시험과 수리 논술 시험 범위 전체를 커버하는 수학 참고서로, 오르비 마켓에서 가장 큰
마켓에 수리의 비밀 가형 2권이 출간되었습니다. 가형 2권은 수학II와 적분과 통계를 다루고 있습니다. 수학I와 기하와 벡터를 다루고 있는 1권과 함께 수능 수리 가형 시험 범위 전체를 커버합니다. <img src="http://orbi.kr/data/cheditor4/1204
그냥 아주친하지는 않고 친구사이로 지내는남자애가 있는데요가끔 캠퍼스에서 만나면 안부정도묻는사이? 요새어떻게사는지그런얘기하는애에요
언제 메신저하다가 심심하다면서 저한테 전화를했거든요
그래서 전화로 얘기하다가 저보고
남친잇냐고그래요 없다고햇는데
아난
1.이름: 박건우2.성: 남3.나이:22(91년생, 삼수)4.거주지: 서울시 용산구 동부이촌동5.희망학년: 고등학생(중상위권)6.희망과목: 언어, 수리, 외국어, 사탐(국사, 세계사)7.수능/평가원 성적표: 연락시 이메일로 보내드리겠습니다.8.비교과: 한국사 1급, IBT 110, TEPS 928, D
안녕하세요~
이대 11학번이구요 새로운 목표가 생겨 휴학하고 홀로 공부중인데
독재가 역시 어려움이 많네요ㅠㅠ
저랑 비슷한 고민 하고 계신분 중 수원에 거주하고 계신 분,
꿈을 향해 정말 열심히 공부하고 계신 분!
쪽지 주세요 :^D
기함수와 우함수를 미분하면 무조건 우함수와 기함수가 되고 기함수를 적분하면 무조건 우함수가 되고 우함수를 적분 하면 안될때도 있다고 배웠는데요 ... 1/X(기함수)룰 적분하면 lnX(우함수아님)잖아요..... 그리고 종로 4월 수리가 10번에서 f(x)=X-1/|X|일때ㄴ.x=0이 아
<IMG style="BORDER-TOP-WIDTH: 0px; PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-LEFT: 0px; BORDER-LEFT-WIDTH: 0px; BORDER-BOTTOM-WIDTH: 0px; PADDING-BOTTOM: 0px; MARGIN: 0px; VERTICAL-ALIGN: middle; PADDING-TOP
제가 알기로는 순열에서 같은것이 있는 순열, 원순열, 최단거리와 조합에서 중복조합, 이항정리만 출제된다고 알고 있었는데요,
혹시 수형도를 기분 풀이로 한 경우의 수 문제나
보트 자리에 어린이와 사람이 타는 경우의수(2010기출)
등이 출제 되나요? 이것들이 이
<
[울산][울산의대] 울산대학교 의예과 12학번 울산지역 수학 과외 합니다.<span style="color: rgb(255, 0, 0); line-height: 19px; font-family: Dotum, 돋움, Verdana; background-color: rgb(255, 255, 255);" class="Appl
학교 : 연세대학교학과 : 건축학과학번 : 11학번나이 : 22살(빠른91년생)실명 : 이권혁성별 : 남자현 거주지 : 서울시 송파구 잠실본동과외 경력 : 2년과외 가능한 장소 : 학생 집과외 가능한 과목 : 수학과외 가능한 학생의 계열/학년 : 문/이과/고2~N수생과외 가능한 학생의
생1 2010년 4월 기출문제인데요ㄴ번이 제 생각하고 달라서EBS 해설강의를 봤는데시계방향으로 회전하다 멈추면 림프가 시계방향으로 흐르고 감각모는 ㄱ방향으로 휘어지고시계방향으로 회전을 시작하면 림프는 시계 반대방향으로 흐르고 감각모는 ㄴ방향으로 휘어지므로림프의
물리1 민석환 인강교재 EZ물리2013버전 + 강의 바인더 + 마더텅 이코노미기출 물리1(공짜로 드림) = 화학2 김철준 인강교재 2013辛개념화학2 + 강의 바인더 + 마더텅 이코모니기출 화학2(공짜로 드림) = 생물1 한종철 인강교재2013 SMART생물1 + 서브노트
뭔가 오르비가 쉼터가 아닌 서로 경쟁하는 곳이 되버린듯예전 오르비 향수가 너무 강해서 그런가...음.. 날씨 더워지는데 모두 힘내시길!
학교 : 서울대학교학과 : 의학과(의학전문대학원)학번 : 10학번(예과학번으로는 08학번인 셈)나이 : 24살실명 : 황영철성별 : 남자 현 거주지 : 서울시 종로구 연건동 서울대학교 의과대학 연건기숙사과외 경력 : 중학교 수학 & 과학 공부방 과외 2년고2 수학과외 3
성별 : 남 나이 : 20 학교&학과 : 고려대학교 경영학과
권순후의 2012 미국대학 입시전략 ②
중앙일보 원문 기사전송 2012-05-21
13:5915위권 대학 입시 절반은 지원자만의 스토리다많은 입시서적에서 미국대학의 입시는 50%의 과학, 50%의 예술로 이뤄졌다고
말한다. 계량화가 가능한 객관적
공식 외우고도 산 넘어 산이네요고1수학 중학교 수학 기초 - 그러니까삼각함수 자유자재 변형능력과중고등학교 기하를 총망라한 지식과대수를 자유자재로 사용하는 능력(이건 어느 단원이든지 해당되는 말이지만..)그런데 뭘로 표현해야 할지...'문제'가 너무 어려
지난주에 세계 브라우저 시장에서 크롬의 점유율이 인터넷 익스플로러를 뛰어넘었습니다.오늘 기준으로 다시 인터넷 익스플로러가 역전하기는 했지만, 추세를 볼 때 익스플로러가 전세를 뒤집기는 힘들어 보이고, 일시적인 일로 보입니다.물론 한국의 상황은 아직 매우 다릅니
1.개념을 잘 알고 있다고 생각한다.2.그런데 문제를 틀림3.고로, 어려운 문제만 자꾸 풀려고 함저는 사실 1번에서는 빠져 나왔는데 2,3번의 늪에서..'어렵지 않고 적당한' 문제란? 교과서의 문제는 너무 쉬워서 시험과는 괴리가 있어 보이고저 인강의 저를 안드로메
수능에 집중하고싶은데 1주일에 이틀정도는 꼭 학교과제해야되는거같아요...학점도 그렇게 맣ㄴ이 안들었는데 왜이리 많은지.
학원다니시는 분들은 하루스케쥴이 어떻게되시나요?
현인원 9명(문과5+이과4) 총인원 10명입니다. 지난주 결원 한명 보충했는데 이번주에도 그동안 학원과 병행하셨던 분이 학원 자습실에서 공부하기로 하면서 다시 한자리가 생겼네요 1타임 07~122타임 13:30~17:003타임 18:30~22:00 2월부터 공
열공하고올게요'-^
요즘 물가가 무지막지 올라서리;요즘은 노량진쪽은 가격 어찌되었나요?저번에 3달전쯤 전에 갔을때 트럭 포장마차(?) 들은 엄청 사라졌던데(단속으로)
김찬휘샘의 입시뉴스에서 kaist 합격자가 정시지원가능하다더라구요?그말은 딴데 정시합격하면 글로 갈 수 있다는 말맞죠??그리고 경찰대, 사관학교나 unist 이런 모든 특목대학교 도 수시합격해도 정시로 합격하면 수시합격 포기할 수 있는건가요???
김찬휘샘의 입시뉴스에서 kaist 합격자가 정시지원가능하다더라구요?그말은 딴데 정시합격하면 글로 갈 수 있다는 말맞죠??그리고 경찰대, 사관학교나 unist 이런 모든 특목대학교 도 수시합격해도 정시로 합격하면 수시합격 포기할 수 있는건가요???
김찬휘샘의 입시뉴스에서 kaist 합격자가 정시지원가능하다더라구요?그말은 딴데 정시합격하면 글로 갈 수 있다는 말맞죠??그리고 경찰대, 사관학교나 unist 이런 모든 특목대학교 도 수시합격해도 정시로 합격하면 수시합격 포기할 수 있는건가요???
한의대는 한학기 휴학이 곧 일년 휴학이잖아요?근데 아래 글 읽어보면 한자 공뷰 때문에 휴학 하시는 분들도 있네요...한자가 어느정도 되어야 한의대에서 책읽으면서 어렵지 않을 정도인가요??2급정도 있으면 한의대에서 한자로 힘들일은 없을까요???
수학문제푸는데 계산과정에서 빠르게 넘어가야할 부분이지만,아래 간단한 부등식문제조차 어렵게 느껴집니다.<div style="color: rgb(64, 64, 64); font-family: 굴림, Gulim; font-size: 13px;
<PARAM NAME="
개념강의다듣고세개돌려가면서 복습해주고잇는데
계속까먹네요 ㅜ하나는좀소홀히햇더니거의날아간상태이고..
공들인과목도자꾸까먹게되구요 ㅜ그래서모의전에 좀더비중둬서막외우고시험보는데
현역 기준으로 강의듣고 전체내용쭉암기하면서수능때까지가셧나요??
&한과
현역때 수리'가'를 햇엇고 재수땐 수리'나'를 햇고다시 수리'가'를 하려합니다고민이 되는점은 강의를 듣고잇는데 아직 강의 진도를 다 못뺏거든요기출문제를 풀려니 수리'가'를 1년 안햇기 때문에 적분,기벡은
공짜로 주는데
이거 ebs연계 다 정리한거예요
15명을 모아야해요
ㅋㅋ
신청자는 박성우고
노량진비상2172
이 이름된 곳으로 오세요!
(좀 뒤쪽에 있어요)
응 비번은 2172이예요ㅎㅎ
괘씸죄 뭐 이런거 없나?난 널 기억해두고 있어! 저리 꺼져버리길 바래..-_-a특히 이 학교는 면접도 있어요. ㅋ ㅋ ㅋ
내일갑자기독서실이쉬어서. 문제지구해놨는데 듣기파일이없네요;;
계신분ckddbsah@naver.com 으로보내주시면안될까요?ㅜ
독해력 늘리고 싶은데 언어 문제집 좋은거 없나요? 지문이 좋았으면 좋겠어요기출은 지문 보면 생각나거든요.. 새로운 지문들 읽어보고 싶은데 ebs도 다 햇습니다문학책이나 문학책 추천해주셔도 되요
들린다꼬이는 소리가
오늘 친구말 듣고 처음알았네요.대부분 선생님들은 기출강의 따로 파니까 다 그런줄 알았는데 ..찾아서 들어가보니까 2005년부터 평가원 심지어 교육청까지 다 정리되어있네요 ; 다 무료 ;원래 삽자루 파렙 끊으려 했는데 ;그냥 모르는 문제만 박승동 기출강의 들으
어떤 분 말 들어보니까 영어듣기를 mp3로하면 나중에 스피커로 나올때랑 음질이 달라서익숙치못하다고 그냥 컴퓨터스피커로 연습하라고 하더라구요 ㅠㅠ근데 제가 11시에 야자끝나고 공부하려고하면 12시쯤되다보니까 너무졸려서 제대로 영어듣기를 못 해서요 ㅠㅠ .. mp3로
며칠 독반 안온 사이에 뭔일 터졌나 싶어 혹시 여쭤봅니다.ㅎㅎ;
독재생입니당공부시작한후로 아침여섯시에 꼬박꼬박 일어났구요 매일 스탑워치로 적어도 7시간은 채웁니다생활에 크게 문젠 없는거같은데 아무래도 혼자하다보니 불안감과..학원다니는 애들에 비해 내가 얻지 못하는 것이 많지않을까 하는 생각에반수반 생각중인데요학원 어떤
안녕하세요광주지역 인문계 다니고 있는고3 문과 현역입니다....ㅠ저희 학교가 그냥 일반계인데도 불구하고 내신이 좀 빡세서요..전교 1등만이 유일한 올1이고(이번에 2등급 2개정도 떳지만...) 2등부터는 바로 1.5가 넘어가더라고요..제가 전교 8~9등인데도 내신이 2.5는 넘
고교 수학 공부법(단권화 노트법)<SPAN style="LINE-HEIGHT: 150%; mso-hansi-font-family: 바탕; mso-bidi-font-family: 굴림; mso-font-kerning: 0pt; mso-ansi-language: KO;
2009년 9월 모의고사 중에무감독학습은 비슷한 입력 특징을 가진 숫자들을 a모아 5또는0에 대해 군집화하는 함수를 만든다.1.취합하여2.융합하여.3.조합하여4.규합하여5.결합하여저는 2번5번고민하다가 합해서 함수를 만드는것같아서5번으로 찍었는데 답은 1번이더
어제 뵈었는데 이제서야 후기를 남기네요.일단 특강 정말 좋았습니다.작년에도 논술 수업을 들었지만, 작년의 수업과는 차별화된 새로운 스타일의 강의였습니다.강의를 시작한 후 사과를 본 뒤 딱 머릿속에 '아! 이거다' 라는 생각이 스쳤습니다.'저런 방법도
강대 편입생인데 거의 아싸를 넘어선 우주싸이더 이고 앞으로도 그럴것 같은데...오히려 이게 좋나요?? 지방민이라 정말 아싸도아닌 우싸됨..글고 엘베엔 5층 까지 있는데 6층에서 내려오는 사람들뭐죠??!! 거기에 뭐가있는거지..
모의고사날 아침에 한시간정도자습이있다면 뭘하시나요?
언어새로운문제 푸는건 안좋을것같은데..
구체적으로 뭐하는게 괜찮나요?..
학교 : 서강대학교학과 : 자연과학부학번 : 20121289나이 : 21실명 : 남동욱성별 : 남현 거주지 :서울특별시 영등포구 양평동 양평역 대우미래사랑아파트 B동 2103호과외 경력 : 6개월과외 가능한 장소 : 영등포구, 마포구과외 가능한 과목 : 영어, 생물 1,2 과외 가능한 학생
학교 : 서울대학교학과 : 의학과학번 : 의학과 09학번나 이 : 26실명 : 전규태성 별 : 남현 거주지 : 서울시 강남구 대치동과외 경력 : 07 수능 이후로 계속. 중,고생, 재수생, 삼수생, 그룹지도, 학원 강의. 5년여간 수업시간 약 1000시간 이상.과외 가능한 장소 : 서울전지
자습 6시간 30 인강 2시간 30 복습포함
날이많이덥네요ㅋㅋ
독재생인데... 언어 인강도 다듣고..혼자서 기출 돌리고있는데요몇일전에 작년에 샀던 언의의 기적이란 언어의 기술 저자가 쓴 모의평가 해설집을다시 봤거든요... 좋은 것 같아서 언어의 기술로 공부해볼까 하는데... 우선 많은 사람들이 다 욕하는책이기도해서망설여지네요
중학교 때 내가 친한 오빠랑 친구이고,, 또 내 친구랑 사귀던 선배라 그냥 인사만 하고 지내다가선배 동생이랑 내동생이랑 초등학교 때 부터 단짝이라엄마들끼리도 친하시고 한 때 과외까지 해주며 그 집에 들락날락 놀다보니완전 친해진 중학교&nb
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