-수II, [미소변화율을 논함 3] • 적용 편
게시글 주소: https://www.orbi.kr/00067262933
*좋아요와 팔로우는 필자에게 큰 동기부여가 됩니다 :D
바로 문제부터 보시겠습니다, 다음 두 문항을 보고 떠오르는 풀이의 방향성을 정해봅시다!
*다 해결하셔도 좋고, 풀이 방향성만 마음속으로 정하셔도 충분합니다!
1번 문제
-東京工業大学(도쿄공업대학) 본고사 중 발췌
14. a>0, t>0에 대해 정적분 S(a,t)를 생각합니다.
(1) a를 고정했을 때, t에대한 함수 S(a,t)의 최솟값 m(a)를 구하시오. [4점]
(2) 다음 극한을 계산하시오. [2점]
2번 문제
-18.03.30 수학 가형
30. g(x)의 극댓값과 극솟값의 차이를 구하시오. [4점]
다 정하셨나요?
제가 두 문제를 처음에 보고 든 생각을 그대로 적자면
"함수가 간단하네요? 피적분함수는 그릴 수 있다면 그려보는 편이 좋겠어요. ->
1번 문제는 조건에 따라 a를 상수 취급하고 t가 움직임에 따라 관찰해보고,
2번 문제는 x와 y=f(x)를 움직이며 관찰하면 되겠군요!
두 문제의 공식 해설은 다음과 같습니다.
(ハイレベル 数学iii•C 중 발췌)
역시 계산은 조금 많지만, 흠잡을 곳 없는 자명한 풀이입니다.
그치만 저희에게는 이전에 학습한 미소변화율 개념이 있고, 이를 이용한다면 단축할 수 있겠다는 생각이 드네요.
*못 보신 분들을 위한 이전 화 링크입니다.
-수II, [미소변화율을 논함] : https://orbi.kr/00066494675
-수II, [미소변화율을 논함 2] : https://orbi.kr/00066523574
두 문제 모두 절댓값이 끼어 있는 정적분으로 정의된 함수이기에, 구간을 나누어 넓이함수를 구하고 미분하는게 출제의도일 테지만,
적분 값을 넓이로 시각화하여 관찰하면 넓이함수의 증감을 바로 알 수 있어요.
2번 문제가 1번 문제의 업그레이드 버젼이기에, 2번문제를 분석하고 1번문제의 해설은 아래 Solution에 추가했어요
|f(t)-f(x)|를 구간 [0,x] 에서 적분한 함수가 g(x)이니
조금씩 x를 키워가며 넓이함수를 관찰하겠습니다.
이 행동의 핵심은 다음과 같습니다.
[0<x<1]일 때 x가 커짐에 따라 y=f(x) 기준선은 위로 올라가며, 넓이의 왼쪽 부분 A는 빨간 형광펜만큼 계속 증가함을 알 수 있습니다.
즉 g(x)는 [0<x<1]에서 증가합니다.
X=1을 넘어서는 순간 기준선 y=f(x)의 운동방향이 아래로 바뀌고, x가 진짜 엄청 미세하게 커짐에 따라 A부분의 넓이는 파란 형광펜만큼 줄고, B 부분의 넓이는 빨간 형관펜만큼 늘어납니다. * 파란 형광펜 부분을 dA, 빨간 형광펜 부분을 dB라 하겠습니다.
기준선이 아래로 이동한다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크기에 총 넓이함수는 (1<x<1+ε) 에서 감소합니다. *(ε는 적당히 작은 양수)
즉 g(x)는 (1<x<1+ε) 에서 감소하며, X=1에서 넓이함수의 증감이 바뀌므로 x=1에서 극대입니다.
이후 언제가 넓이함수의 증감이 다시 바뀌는 지점일까요?
dA>dB일땐 쭉 감소하다가 dA = dB를 거쳐 dA<dB이면 증가하겠군요.
즉 넓이함수의 극소는 dA = dB 일 때겠군요. +(사족)이로 대강의 g(x)의 개형도 그려낼 수 있습니다
(TMI) 실제로 그린 g(x)의 개형 (A의 자취)
dA와 dB는 x좌표 차이가 가로인 미세한 직사각형인데, 세로는 함께 같은 속도로 움직이니 같다고 하면 x좌표차이가 같은 부분이겠군요.
X절편 차가 동일함 + 함수가 x=1 선대칭임을 이용하면 극소가 x=4/3에서 생김을 알 수 있고 적분을 계산하면 답을 얻을 수 있습니다.
Solution) 02번 문제
Solution) 01번 문제
(저는 1번 문제의 함수 표현 S(a,t)가 마음에 들더군요..! 한 변수 고정하는 부분을 언급하지 않았어도 두개 이상의 변수 *특히 기하(평면벡터)등에서 스스로 한 변수를 고정하고 다른 하나를 움직여 보면 좋아요! )
긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다! :D
정성이 들어간 글인 만큼 여러 번 연습하면 꼭 본인의 것으로 만들 수 있을거에요
0 XDK (+28,000)
-
17,000
-
5,000
-
5,000
-
1,000
-
제목 그대로
-
저 메인글 저격 뉴진스민지는 본만모 허위논란 자작극 본인이라 믿음이 진짜 1도...
-
금요일 토요일 1
수학만 했어
-
흐무흐무
-
벌써 새벽 4시 0
공부를 못해서 우울하군아...
-
팔로우수 뭐지 2
얼버기 올리자마자 두분 삭제..
-
얼버기 8
-
글은 왜 안써
-
오르비가 죽었다 2
...
-
사람들 반응이 너무 안좋은데 다시 복귀해도 메이드인경상도는 폐지하려나 정용화편 너무...
-
방굽습니다 4
아직도 안주무신다면..! 당신은 진짜 위기입니다
-
네.
-
전화컴 다니는 지거국 중경외시 이상 학교 문과 둘중 누가더 취업 잘됨? 연봉수준...
-
독재 바꿔야겠네 7
뭔 재수학원이 뻑하면 쉬니 돈벌기 싫은듯
-
대지고기 먹으면 두드러기 올라옴..ㅜㅜ 원래는 안그랬는데
-
나 고등학생때는 되게 밝았는데
-
검독수리는 시속 240으로 꼴아박고 고릴라는 근욱빵빵임
-
나 혼자만 침전하는 느낌이야
-
잘나온 사진 수집하면서 장보는거마냥 컬렉션 제작 가능
-
oh how did you feel넌 내 삶에 큰 공이라고어제의 내가 몰래 가져놓은...
-
이걸 쏟네 ㅅ#
-
내일은 푹 자고 6
시냅스만 풀어야겠다
-
누가 스타트 끊을거임?
-
초딩한테손흥민반팔티사주먼젛아함? 환장할까? 저학년이고 이미삼 어때?축구 ㅈㄴ좋아하는애임
-
ㅠㅠㅠ 제가 자꾸 고장 나는데 어쩌죠?? ㅜㅜㅜ 너무 좋은데 어쩌죠?? 너무...
-
지사의 중에선 좀 쳐주나요? 아니면 하위지사의인가요?
-
스카, 공부하러 카페 진짜 시간 낭비 그자체임.. 만나서 같이 공부할 생각을 한다?...
-
안녕하세요
-
인증 못봤어..
-
ㄹㅇ
-
편의점빵이거 1
진짜 노래나오네... 아
-
취르비 질받 4
맥주 3캔 마셨어요
-
잡담) 0
요즘 느끼는 내 대인관계 문제점이 뭐냐면 나는 어디를 가도 뭔가 겉도는 사람인거같음...
-
너무 매력적이심
-
같이 스카가고 싶음… 고로 여르비 쪽지주세요~
-
내일을 살아야죠?
-
특난도 모고도 베끼셨네요... 메가 시대 강대 골고루 ㅋㅋㅋ
-
생윤 돈쓰기 먹기 지각하기 생각안하고 말하기 왜이런거밖에없냐새벽에현타오네
-
하니팜보아라 9
지움 ㅋ
-
님들아 안 잠? 1
-
피어싱 뚫고싶음 21
이때 게이같긴하지만…
-
3학년 1반 반장이었던 그 선배를 오랜만에 보네요
-
남자긴 한데 10
나도 좀 이쁜 여자 애가 번호 따갔음 좋겠음
-
내 경우를 들자면 동아리 홍보 게시물을 보고 가입 양식을 제출하거나 아니면 동기한테...
-
무물보 22
20분만 하고 지우겟삼.. 질문이 없어도 20분뒤에 삭삭제
-
원래 사람들 눈도 못 마주치고 말도 웅얼거렸는데 (드립아니고 중증도찐따인생 살아옴)...
-
오 벌써 2
팔로워 50명이네 감사합니당
-
반수생임 고3이랑 난이도 차이나서 별 의미없으려나... 예전에 사놓고 안 쓴거라...
드디어 적용탄이 나왔군요 가장 기대하고있었습니다 진짜 이칼럼은 제 수학의 시각을 넓혀줬으니 잘보겠습니다
저야말로 영광이네요! 궁금하신 점 있으시면 편하게 물어봐주세요 :)
선댓후감
미소변화율 항상 재밌게 보고 있습니다
감사드려요 선생님 :)
이거보고 주머니에서 공이나 뽑기로했다
왜 평면으로 수선을 안내리고 그런걸
동경일공의 공 아닌가용
역시 수학고수
사설 실모나 엔제에서 많이 써먹었는데 많은 분들이 얻어가셨으면 좋겠네요~^^
Sec(x)
짖짜 뇌를 꺼내서 저한테 이식하고싶어요
대 약 연
약선생님 좋은 글 감사합니당
저야말로 도움이 되었다면 기쁘네요
우와!
대 대 대
한의대 걸어두시나요
약연님 시.반(국가권력엔수생어쩌고)님이 이거좀 물어봐달랍니다
강의는 마지막에 나온다고 전해달라네요
https://youtu.be/9EOzb5wCSN4?si=3B1ZDrTpoDF_flU-
g'(x)를 수식으로 표현할 때, 미소변화량을 세로가 적당히 작은 직사각형으로 근사하였다고 생각하면 가로 × 세로인데, 도함수의 정의가 접선의 기울기이고, 접선의 기울기를 삼각비로 표현하면 아래 그림처럼 델타h/델타x로 표현할 수 있고, 델타S = 길이 × 델타높이 인데 양변을 델타x로 나눠 표현하면
넓이의 미소변화량 = 가로길이 × 도함수가 되는군요!
단! 이 경우는 기준선의 운동방향이 축과 평행하게 고정되어 있어 미세한 직사각형으로 근사, 위와 같이 도함수를 직관적으로 뽑아낼 수 있는것이지, 미소변화율 칼럼 1편의 극좌표에서의 근사에선 사용하기 곤란하군요..
헉 이걸 이제보다니..
미소변화율 3도 잘 보고 갑니다..ㅎㅎ
저야말로 도움이 되었다면 기뻐요
영광이에요